2012年8月30日木曜日

修正デュレーション

 債券トレードの世界では「修正デュレーション」と呼ばれる数値があります。これは何かというと、金利の動きから債券価格がどの程度動くかを調べるためのものです。例えばこの修正デュレーションが2だった場合のことを考えてみましょう。

 金利が2%上昇した場合 → 債券価格は約4下落

 金利が1%下落した場合 → 債券価格は約2上昇

 といった感じになります。こうした情報と、現在の債券価格、それから金利の動向を見極める(これが一番難しい)ことで債券を売ったり買ったりするのです。

 さて、この修正デュレーションはBloombergやReutersといった情報提供会社から取得できますが、自分で計算することももちろん可能です。修正デュレーションを導き出すには、まず債券の「現在価値」、そして「デュレーション」を計算する必要があります。

 現在価値とは何か。例えば手元の1万円を見てください。その1万円の現在価値は、もちろん1万円です。ではその1万円を年利1%で運用したら、1年後の将来価値はいくらになるでしょう。1万100円ですね。つまり現在価値というのは、将来手に入るお金から逆算して得られる価格ということなのです。

 では年利を1%として、将来1万円得られるチケットがあるとしましょう。そのチケットの現在価値はいくらになるでしょうか。

 10,000 / ( 1 + 0.01 ) = 9,900.9901

 つまり、およそ9,901円を年1%で運用したら、1年後には1万円の価値を持っているということです。

 デュレーションはこの現在価値を元に計算します。上記は簡単な例として1年だけの利回りで計算しましたが、債券は長いもので10年や20年を超えるものもあります。なのでもうちょっと計算はややこしくなります。

 例えば残存2年、クーポン(債券に付く利息のこと)2%、利回り(市場金利)1%の債券を想定してみましょう。債券の基準価格は100円と決まっていますが、これはそういうものと思ってください。

 2 / ( 1 + 0.01) = 1.9802

 まずこの計算で、最初の1年目に得られる金利分を計算します。

 102 / ( 1 + 0.01)^2 = 99.9902

 そして次の計算では最終的に償還される金額全てを計算しています。102となっているのは元本を含めるため。2乗しているのは、複利計算のためですね。

 1.9802 + 99.9902 = 101.9704

 上記の2式を足して、答えは101.9704となりました。これがこの債券の現在価値になります。ではこの価格で正しいか、ちょっと確認してみましょう。

 100 * (1.02)^2 = 104.04

 101.9704 * (1.01)^2 = 104.02

 上の式は債券を額面の価格で買った場合、最終的に得られる価格。下の式は先ほど計算した現在価値のお金を市場金利で運用した場合の価格です。ちょっと誤差が出てますが、ほぼ同じなことが確認できました。

 ところでデュレーションとは何でしょうか。一言で表すと「債券に投資された資金の平均回収期間」となりますが、ちょっと難しいですね。例えば5年後に償還される債券があったとしましょう。最後までその債券を持っていれば、実際に元が取れるのはきっかり5年です。でもクーポンでいくらか儲けていることを考えれば、5年経つ前の段階で投資した分のお金は返ってくると考えられますよね。なので平均回収期間は4.8とか、5よりも小さい数字になります。これがデュレーションです。

 では先ほど算出した債券の現在価値からデュレーションを導いてみましょう。

 (1.9802 + 99.9902 * 2) / 101.9704 = 1.9806

 こうしてデュレーションを導き出せました。そしてようやく、肝心の修正デュレーションの計算です。修正デュレーションの計算はそんなに難しくありません。デュレーションを ( 1 + 市場金利) で割るだけです。

 1.9806 / ( 1 + 0.01 ) = 1.9610

 これを最初に提示した例と合わせるとこうなります。

 金利が2%上昇した場合 → 債券価格は約3.922下落

 金利が1%下落した場合 → 債券価格は約1.961上昇

 ただし、現実の経済では修正デュレーションはそこまで正確に機能しません。金利の上昇幅が膨らむと、誤差がかなり大きくなってしまいます。なのでその誤差を修正する計算をしなくてはなりません。そのための数値がコンベクシティです。コンベクシティそのものの計算はかなり難しいようで、証券アナリストの教科書にも載っていませんでした。興味のある方は以下のリンク先をご参照ください。

http://en.wikipedia.org/wiki/Bond_convexity

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